Question

设正项数列{a_n}的前n项和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差数列，且公差相等，
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若a₁，a₂，a₅恰为等比数列{b_n}的前三项，记数列c_n=

1

log34bn+1•log34bn+2

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）首先根据已知条件，和等量关系式求出数列的通项公式．
（2）利用（1）的结论，利用裂项相消法求数列的和．

解答： 解：（1）正项数列{a_n}的前n项和是S_n，若{a_n}和{

Sn

}都是等差数列，且公差相等．
则：

S2

=

2a1+d

=

a1

+d
两边平方得：2a1+d=a1+2d

a1

+d2①
同理：

S3

=

3a1+3d

=

a1

+2d
两边平方得：3a1+3d=a1+4d

a1

+4d2②
②-①得：a1=2d

a1

+3d2-2d③
把③代入①解得：d=

1

2

或0（0舍去）
故进一步解得：a1=

1

4

所以：an=

1

4

+

1

2

(n-1)=

1

2

n-

1

4

（2）由（1）得：an=

1

2

n-

1

4

，a₁，a₂，a₅恰为等比数列{b_n}的前三项，
解得：b₁=a1=

1

4

，b₂=a2=

3

4

，b₃=a5=

9

4

，
所以：数列bn=

1

4

•3n-1
c_n=

1

log34bn+1•log34bn+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

T_n=c₁+c₂+…+c_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

点评：本题考查的知识要点：数列通项公式的求法，裂项相消法的应用．属于中档题型．