题目内容
12．
已知F1为圆（x+1）2+y2=16的圆心，N为圆F1上一动点，且F2（1，0），点M，P分别是线段F1N，F2N上的点，满足$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=0，$\overrightarrow{{F}_{2}N}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}P}$．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l（与x轴不重合）与轨迹E交于A，C两点，线段AC的中点为G，连接OG并延长交轨迹E于B点（O为坐标原点），求四边形OABC的面积S的最小值．
分析 （Ⅰ）确定动点M的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，即可求动点M的轨迹E的方程；
（Ⅱ）设直线AC的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，可得（4+3m2）y2+6my-9=0，表示出四边形OABC的面积，即可求出四边形OABC的面积S的最小值．
解答 解：（Ⅰ）由题意，MP垂直平分F2N，
∴|MF1|+|MF2|=4
所以动点M的轨迹是以F1（-1，0），F2（1，0）为焦点的椭圆，…..（3分）
且长轴长为2a=4，焦距2c=2，所以a=2，c=1，b2=3，
曲线E的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）设A（x1，y1），C（x2，y2），G（x0，y0）．
设直线AC的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，可得（4+3m2）y2+6my-9=0，
∴y1+y2=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y1y2=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
由弦长公式可得|AC|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$|y1-y2|=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
又y0=-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$，
∴G（$\frac{4}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，-$\frac{3m}{4+3{m}^{2}}$），
直线OG的方程为y=-$\frac{3m}{4}$x，代入椭圆方程得x2=$\frac{16}{4+3{m}^{2}}$，
∴B（$\frac{4}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，-$\frac{3m}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$），
B到直线AC的距离d1=$\frac{\sqrt{4+3{m}^{2}}-1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
O到直线AC的距离d2=$\frac{1}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
∴SABCD=$\frac{1}{2}$|AC|（d1+d2）=6$\sqrt{\frac{1}{3}-\frac{1}{3（4+3{m}^{2}）}}$≥3，当m=0时取得最小值3．
点评 本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查面积的计算，属于中档题．
已知函数y=f（x）是偶函数，y=g（x）的奇函数，它们的定义域为[-π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式$\frac{f（x）}{g（x）}＞0$的解集为$（-π，-\frac{π}{3}）∪（0，\frac{π}{3}）$．| A． | $\frac{{x}^{2}}{3}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1 | B． | $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{3}$=1 | C． | $\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{16}$=1 | D． | $\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1 |