Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=4，S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1（n∈N^*），则S_n=4ⁿ．

Answer 1

分析 由已知数列递推式可得$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}=4$，又S₁=a₁=4，则数列{S_n}构成以4为首项，以4为公比的等比数列，再由等比数列的通项公式求得S_n ．

解答 解：由S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$a_n+1，得S_n+S_n+1=$\frac{5}{3}$（S_n+1-S_n），即$\frac{{S}_{n+1}}{{S}_{n}}=4$，
又S₁=a₁=4，
∴数列{S_n}构成以4为首项，以4为公比的等比数列，
则${S}_{n}=4×{4}^{n-1}={4}^{n}$．
故答案为：4ⁿ．

点评 本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．