Question

（1）已知a，b，c为任意实数，求证：a²+b²+c²≥ab+bc+ca；
（2）设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，求证：ab+bc+ca≤

1

3

．

Answer 1

考点：不等式的证明

专题：证明题,不等式的解法及应用

分析：（1）利用基本不等式可得a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，三式相加即得结论，
（2）利用（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，a²+b²+c²≥ab+bc+ca，即可证明．

解答： 证明：（1）由a²+b²≥2ab，b²+c²≥2bc，c²+a²≥2ca，
三式相加即得a²+b²+c²≥ab+bc+ca，（6分）
（2）因为（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ca=1，a²+b²+c²≥ab+bc+ca，
所以ab+bc+ca≤

1

3

（12分）

点评：本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．