Question

5．已知f（x）=ax²+x-a．a∈R
（1）若不等式f（x）＜b的解集为（-∞，-1）∪（3，+∞），求a，b的值；
（2）若a＜0，解不等式f（x）＞1．

Answer 1

分析 （1）由题意可得方程ax²+x-a-b=0的两根分别为-1、3，且a＜0，利用韦达定理，可得a，b的值；
（2）若a＜0，等式为ax²+x-（a+1）＞0，即$（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$，分类讨论，可得不同情况下不等式的解集．

解答 （本小题满分12分）
解：（1）由题意可得方程ax²+x-a-b=0的两根分别为-1、3，且a＜0  …（1分）
∴$\left\{\begin{array}{l}-1+3=-\frac{1}{a}\\-1×3=\frac{-a-b}{a}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=-1\end{array}\right.$…（4分）
（2）若a＜0，不等式为ax²+x-（a+1）＞0，即$（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）＜0$…（6分）
∵$1-（-\frac{a+1}{a}）=\frac{2a+1}{a}=0⇒a=-\frac{1}{2}$．
∴当$a＜-\frac{1}{2}$时，$-\frac{a+1}{a}＜1$，不等式的解集为$（-\frac{a+1}{a}，1）$； …（8分）
当$a=-\frac{1}{2}$时，$-\frac{a+1}{a}=1$，不等式的解集为∅； …（10分）
当$-\frac{1}{2}＜a＜0$时，$-\frac{a+1}{a}＞1$，不等式的解集为$（1，-\frac{a+1}{a}）$…（12分）
（如上，没有“综上所述…”，不扣分，但解集表达不规范每处扣（1分），最多累计扣2分）

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．