Question

f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，不等式f（ax²+x+1）≤f（1）对x∈[

1

2

，1]恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

• A、[-2，1]
• B、[-3，0]
• C、[-2，-1]
• D、[-3，-2]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性和单调性之间的关系转化为参数恒成立问题．

解答： 解：∵f（x）是偶函数，且f（x）在[0，+∞）上是增函数，
∴不等式f（ax²+x+1）≤f（1）等价为f（|ax²+x+1|）≤f（1），
即-1≤ax²+x+1≤1，
∵x∈[

1

2

，1]，
∴不等式等价为-

2

x2

-

1

x

≤a≤-

1

x

，
则-

1

x

∈[-2，-1]，-

2

x2

-

1

x

的最大值为-3，
则-3≤a≤-2，
故选：D．

点评：本题主要考查不等式恒成立问题，根据函数的奇偶的和单调性的性质将不等式进行转化，利用参数分离法是解决本题的关键．