题目内容

设x，y∈R，集合A={（x，y）|x2-4y2=4}，B={（x，y）|y=kx+1}，若A∩B为单元素集，则k的值有
 
个．
考点：直线与圆锥曲线的关系
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：画出双曲线的图形，根据双曲线的几何性质，运用图形判断个数．
解答： 解：∵x2-4y2=4，
∴
x2
4
-y2=1，


∵直线y=kx+1恒过（0，1）．
∴据图可判断；当直线与渐近线平行时，1个交点，
∴k=±
1
2
，1个交点，
∵直线与双曲线相切时，1个公共点，
∴根据对称性，这样的直线有2条，
∴k的值有2个，
∴当直线与双曲线有1个公共点时，k的值有4个，
∴若A∩B为单元素集，则k的值有 4个，
故答案为：4
点评：本题考查了直线与双曲线的位置关系，运用数形结合的思想判断，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如果集合A={x|x≤1}，则下面式子正确的是（　　）
A、0⊆AB、{0}∈A
C、φ∈AD、{0}⊆A
设椭圆方程为
x2
4
+
y2
8
=1，过原点且倾斜角为θ和π-θ（0＜θ＜
π
2
）的两直线分别交椭圆于A，C和B，D两点．
（1）用θ表示四边形ABCD的面积S；
（2）当θ∈（0，
π
2
）时，求S的最大值．
已知直线l的参数方程为
x=5-
3
2
t
y=-
3
+
1
2
t
（t参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ4cos（θ-
π
3
）．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）若点P（x，y）在圆C上，求
3
x+y的取值范围．
已知A，B分别是椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右顶点，点D(1，
3
2
)在椭圆C上，且直线D与直线DB的斜率之积为-
b2
4
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）如图，已知P，Q是椭圆C上不同于顶点的两点，直线AP与QB交于点M，直线PB与AQ交于点N．若弦PQ过椭圆的右焦点F2，求直线MN的方程．
下列四个命题中，
①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
②点P（x，y）到A（-2，0），B（2，0）的距离和是4，则P的轨迹是线段AB；
③双曲线上的点P与两焦点F1，F2满足|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率e∈（1，3]；
④若△ABC的周长为10，A（-1，0）、B（1，0），则点C的轨迹方程是
x2
16
+
y2
15
=1．
其中正确的命题是
 
（将你认为正确的命题的序号都填上）．
已知双曲线C的焦点为F1（-2，0），F2（2，0），且离心率为2；
（Ⅰ）求双曲线的标准方程；
（Ⅱ）若经过点M（1，3）的直线l交双曲线C于A，B两点，且M为AB的中点，求直线l的方程．
过点P（0，2）的直线和抛物线y2=8x交于A，B两点，若线段AB的中点在直线x=2上，求弦AB的长．
ABC是单位圆上不重合的三点，对任意正数x，
OA
=2
OB
+x
OC
，则x的取值
 
．

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