Question

下列四个命题中，
①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等；
②点P（x，y）到A（-2，0），B（2，0）的距离和是4，则P的轨迹是线段AB；
③双曲线上的点P与两焦点F₁，F₂满足|PF₁|=2|PF₂|，则双曲线的离心率e∈（1，3]；
④若△ABC的周长为10，A（-1，0）、B（1，0），则点C的轨迹方程是

x2

16

+

y2

15

=1．
其中正确的命题是

 

（将你认为正确的命题的序号都填上）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等且在y轴上的截距不等或斜率都不存在且在x轴上的截距不等；
②点P（x，y）到A（-2，0），B（2，0）的距离和是4，则P的轨迹是线段AB；
③双曲线上的点P与两焦点F₁，F₂满足|PF₁|=2|PF₂|，则|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，可得2a+2c≥4a且4a+2a≥2c，解得即可；
④若△ABC的周长为10，A（-1，0）、B（1，0），则点C满足|AC|+|BC|=10=2a＞|AB|=2，可得a=5，b²=a²-c²=24，即可得出椭圆的标准方程．

解答： 解：①二直线平行的充要条件是它们的斜率相等且在y轴上的截距不等或斜率都不存在且在x轴上的截距不等，因此不正确；
②点P（x，y）到A（-2，0），B（2，0）的距离和是4，则P的轨迹是线段AB，正确；
③双曲线上的点P与两焦点F₁，F₂满足|PF₁|=2|PF₂|，则|PF₁|=4a，|PF₂|=2a，∴2a+2c≥4a且4a+2a≥2c，解得1＜e≤3，因此双曲线的离心率e∈（1，3]，正确；
④若△ABC的周长为10，A（-1，0）、B（1，0），则点C满足|AC|+|BC|=10=2a＞|AB|=2，因此其椭圆的标准方程为

x2

25

+

y

24

=1，因此不正确．
综上可得：只有②③正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查了圆锥曲线的定义及其标准方程、相互平行的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．