Question

已知直线l的参数方程为

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ4cos（θ-

π

3

）．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）若点P（x，y）在圆C上，求

3

x+y的取值范围．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：三角函数的图像与性质,坐标系和参数方程

分析：（1）将直线l的参数方程、圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，将圆的方程化为标准方程，再由点到直线的距离公式，求出圆心到直线l的距离d，再比较d与r的大小关系判断出直线与圆的位置关系；
（2）根据圆C的参数方程设出点P的坐标，代入

3

x+y利用两角和的正弦公式化简，根据正弦函数的性质求

3

x+y的范围．

解答： 解：（1）因为直线l的参数方程为

x=5- 3 2 t y=- 3 + 1 2 t

（t参数），
所以直线直角坐标方程为：x+

3

y-2=0，
由ρ=4cos（θ-

π

3

）得，ρ2=4ρcos(θ-

π

3

)，即ρ2=2ρcosθ+2

3

ρsinθ，
所以x2+y2=2x+2

3

y，则圆C的方程是：(x-1)2+(y-

3

)2=4，
则圆心到直线的距离d=

|1+3-2|

1+3

=1＜2=r，所以直线与圆相交；
（2）令

x=1+2cosθ y= 3 +2sinθ

（θ为参数），
所以

3

x+y=

3

（1+2cosθ）+

3

+2sinθ
=2（sinθ+

3

cosθ）+2

3

=4sin（θ+

π

3

）+2

3

，
因为-1≤sin（θ+

π

3

）≤1，所以2

3

-4≤sin（θ+

π

3

）+2

3

≤2

3

+4，
所以

3

x+y的取值范围是[2

3

-4，2

3

+4]．

点评：本题考查极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，两角和的正弦公式，正弦函数的性质，及几何法判断出直线与圆的位置关系，属于中档题．