Question

10．已知等差数列{a_n}满足，若a₂²+a₅²=5．则S₇的最大值是$\frac{35}{3}$．

Answer 1

分析 可设a₂=$\sqrt{5}$cosα，a₅=$\sqrt{5}$sinα，0≤α＜2π，求出公差d，首项，再由等差数列的求和公式，结合辅助角公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：由a₂²+a₅²=5，
可设a₂=$\sqrt{5}$cosα，a₅=$\sqrt{5}$sinα，0≤α＜2π，
即有公差d=$\frac{1}{3}$（a₅-a₂）=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（sinα-cosα），
a₁=a₂-d=$\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosα-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinα，
则S₇=7a₁+$\frac{7}{2}$×6d=7（$\frac{4\sqrt{5}}{3}$cosα-$\frac{\sqrt{5}}{3}$sinα）+7$\sqrt{5}$（sinα-cosα）
=$\frac{7\sqrt{5}}{3}$（cosα+2sinα）=$\frac{35}{3}$（$\frac{1}{\sqrt{5}}$cosα+$\frac{2}{\sqrt{5}}$sinα）
=$\frac{35}{3}$sin（α+θ），（其中tanθ=$\frac{1}{2}$，θ在第一象限），
当α+θ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z时，取得最大值$\frac{35}{3}$．
故答案为：$\frac{35}{3}$．

点评 本题考查等差数列的求和公式和通项公式的运用，考查最值的求法，注意运用三角换元法，以及正弦函数的值域，属于中档题．