Question

20．对于满足|f（n+1）-f（n）|≤（$\frac{1}{10}$）ⁿ（n∈N）的所有f（n），若f（0）=1，则f（10）的值所在的区间一定是（　　）

• A． （-1，1）
• B． （0，2）
• C． （-$\frac{1}{9}$，$\frac{19}{9}$）
• D． （-$\frac{1}{5}$，$\frac{9}{5}$）

Answer 1

分析 由绝对值不等式的性质可得-（（$\frac{1}{10}$）⁰+（$\frac{1}{10}$）¹+…+（$\frac{1}{10}$）⁹）≤f（10）-f（0）≤（（$\frac{1}{10}$）⁰+（$\frac{1}{10}$）¹+…+（$\frac{1}{10}$）⁹），从而解得．

解答 解：∵|f（n+1）-f（n）|≤（$\frac{1}{10}$）ⁿ，
∴|f（1）-f（0）|≤（$\frac{1}{10}$）⁰，
|f（2）-f（1）|≤（$\frac{1}{10}$）¹，
…，
|f（10）-f（9）|≤（$\frac{1}{10}$）⁹，
∴-（（$\frac{1}{10}$）⁰+（$\frac{1}{10}$）¹+…+（$\frac{1}{10}$）⁹）≤f（10）-f（0）≤（（$\frac{1}{10}$）⁰+（$\frac{1}{10}$）¹+…+（$\frac{1}{10}$）⁹），
即-$\frac{10}{9}$（1-$\frac{1}{1{0}^{10}}$）≤f（10）-f（0）≤$\frac{10}{9}$（1-$\frac{1}{1{0}^{10}}$），
即-$\frac{10}{9}$＜f（10）-f（0）＜$\frac{10}{9}$，
故-$\frac{1}{9}$＜f（10）＜$\frac{19}{9}$，
故选C．

点评 本题考查了绝对值不等式的应用．