Question

1．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是棱AB的中点，则直线AC与平面A₁DC所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AC与平面A₁DC所成角的正弦值．

解答 解：以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，过D作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，
设三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱长为2，
则A（-1，0，0），C（0，$\sqrt{3}$，0），A₁（-1，0，2），D（0，0，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{DC}$=（0，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
设平面A₁DC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DC}=\sqrt{3}y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，0，1），
设直线AC与平面A₁DC所成角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2|}{2\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
∴直线AC与平面A₁DC所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故选：A．

点评 本题考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．