Question

16．在三棱锥P一ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为边长为2的正三角形，PA=$\sqrt{3}$，则AP与平面PBC所成的角为（　　）

• A． 45°
• B． 60°
• C． 75°
• D． 90°

Answer 1

分析 以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出AP与平面PBC所成的角的大小．

解答 ：以A为原点，在平面ABC内过A作AC的垂线为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，1，0），C（0，2，0），
$\overrightarrow{PB}$=（$\sqrt{3}，1，-\sqrt{3}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AP}$=（0，0，$\sqrt{3}$），
设平面PBC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{n}=\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}z=0}\\{\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{n}=2y-\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取y=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，2$），
设AP与平面PBC所成的角为θ，
则sinθ=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AP}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{3}•\sqrt{8}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴θ=45°．
∴AP与平面PBC所成的角为45°．
故选：A．

点评 本题考查线面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．