Question

已知在平面直角坐标系xOy中，曲线E的参数方程为

x= 3 +3cosθ y=1+3sinθ

（θ为参数），以原点作为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系且单位长度相同，直线L过极轴上一点M（2，0）且L向上的方向与极轴的正方向成

5

6

π．
（1）写出L的极坐标方程；
（2）求直线L被曲线E截得的弦长．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）由于直线L过极轴上一点M（2，0）且L向上的方向与极轴的正方向成

5

6

π．可得直角坐标方程为，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得L的极坐标方程．
（2）曲线E的参数方程为

x= 3 +3cosθ y=1+3sinθ

（θ为参数），化为(x-

3

)2+(y-1)2=9，可得圆心E（

3

，1），半径r=3．利用点到直线的距离公式可得圆心E到直线L的距离d．即可得出直线L被曲线E截得的弦长=2

r2-d2

．

解答： 解：（1）∵直线L过极轴上一点M（2，0）且L向上的方向与极轴的正方向成

5

6

π．
∴直角坐标方程为；y=tan

5π

6

(x-2)，化为x+

3

y-2=0，
把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入可得ρcosθ+

3

ρsinθ-2=0，即为L的极坐标方程．
（2）曲线E的参数方程为

x= 3 +3cosθ y=1+3sinθ

（θ为参数），化为(x-

3

)2+(y-1)2=9，
可得圆心E（

3

，1），半径r=3．
∴圆心E到直线L的距离d=

| 3 + 3 -2|

12+( 3 )2

=

3

-1．
∴直线L被曲线E截得的弦长=2

r2-d2

=2

32-( 3 -1)2

=2

5+2 3

．

点评：本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线与圆的相交弦长问题、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．