Question

16．已知对任意x∈R，不等式2${\;}^{-{x}^{2}-x}$＞（$\frac{1}{2}$）${\;}^{2{x}^{2}-mx+m+4}$恒成立．求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 根据指数函数的图象与性质，化简不等式，求出它的解集即可．

解答 解：原不等式可化为${（\frac{1}{2}）}^{{x}^{2}+x}$＞${（\frac{1}{2}）}^{{2x}^{2}-mx+m+4}$，…（2分）
因为函数y=${（\frac{1}{2}）}^{x}$在R上是减函数，
所以x²+x＞2x²-mx+m+4在R上恒成立，
即x²-（m+1）x+m+4＞0对x∈R恒成立，…（6分）
所以△=[-（m+1）]²-4（m+4）＜0，
即m²-2m-15＜0，解得-3＜m＜5，
所以实数m的取值范围是（-3，5）．…（10分）

点评 本题考查了利用指数函数的单调性求不等式的应用问题，是基础题目．