Question

6．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=$\sqrt{3}（{acosC+ccosA}）$．
（1）求角B的值；
（2）若△ABC的面积为$\frac{{7\sqrt{3}}}{3}$，a+c=8，求边b．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得：sinBtanB=$\sqrt{3}$（sinAcosC+sinCcosA）=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB，求出tanB=$\sqrt{3}$，由此求出B=$\frac{π}{3}$．
（2）由△ABC的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，得到$ac=\frac{28}{3}$，再由a+c=8，利用余弦定理能求出b的值．

解答 解：（1）∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且btanB=$\sqrt{3}（{acosC+ccosA}）$，
∴由正弦定理得：
sinBtanB=$\sqrt{3}$（sinAcosC+sinCcosA）=$\sqrt{3}$sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinB，
∵B∈（0，π），∴sinB≠0，∴tanB=$\sqrt{3}$，
∵B∈（0，π），∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）∵△ABC的面积为$\frac{7\sqrt{3}}{3}$，∴$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac=\frac{7\sqrt{3}}{3}$，
∴$ac=\frac{28}{3}$，
∵a+c=8，
∴在△ABC中，由余弦定理得：
b²=a²+c²-2accosB=（a+c）²-3ac=36，
∴b=6．

点评 本题考查三角形中角的求法，考查边的求法，考查正弦定理、余弦定理、诱导公式、同角三角函数关系式、三角函数恒等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．