Question

18．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$-sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期和对称中心；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，若直线y=ax+b是函数f（x）的切线，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得f（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），由周期公式可得最小正周期，解2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得对称中心；
（2）由x∈[0，$\frac{π}{2}$]可得f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）的范围，由切线斜率和导数的关系可得．

解答 解：（1）化简可得f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+$\frac{1}{2}$-sin²x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
∴函数f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π，
由2x+$\frac{π}{6}$=kπ可得x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，
故对称中心为（$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，0）k∈Z；
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，
∴f′（x）=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴切线y=ax+b的斜率a的取值范围为[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的对称性以及导数和切线的关系，属中档题．