Question

14．如图，圆M和圆N与直线l：y=kx分别相切于A、B，与x轴相切，并且圆心连线与l交于点C，若|OM|=|ON|且$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，则实数k的值为（　　）

• A． 1
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 根据切线的性质可得OM⊥ON，利用相似三角形得出两圆半径比为2：1，在根据三角形相似即可得出tan∠NOX，根据二倍角公式计算k．

解答 解：过两圆圆心分别作x轴的垂线，垂足分别为P，Q，
设圆M，圆N的半径分别为R，r，
∵$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{CB}$，∴AC=2BC．
∵OB是圆M，圆N的垂线，
∴AM⊥OB，BN⊥OB，
∴△MAC∽△NBC，
∴$\frac{AM}{BN}=\frac{AC}{BC}=2$，即R=2r．
∵x轴是两圆的切线，且OB是两圆的切线，
∴OM平分∠BOP，ON平分∠BOQ，
∴∠NOQ+∠POM=90°，
∴∠NOQ=∠PMO，又OM=ON，
∴△MPO≌△OQN，
∴OQ=MP=R，
∴tan∠NOQ=$\frac{NQ}{OQ}$=$\frac{r}{R}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠BOQ=tan2∠NOQ=$\frac{1}{1-\frac{1}{4}}$=$\frac{4}{3}$，
∴k=$\frac{4}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了直线与圆的位置关系，属于中档题．