Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=x²，若对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，则实数t的最大值是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由已知表达式及奇函数的性质求出函数f（x）在R上的解析式，易判断其单调性，再把不等式f（x）≤9f（x+t）进行等价变形，转化为两个自变量的值间的不等关系，进而可转化为函数的最值问题解决．

解答： 解：当x≤0时，f（x）=x²，
∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＞0时，f（x）=-x²，
∴f（x）=

x2，(x≤0) -x2，(x＞0)

，
则函数f（x）的图象如图：
则函数f（x）在R上单调递减，
∵9f（x+t）=3²f（x+t）=f（3x+3t），
∴对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤9f（x+t）恒成立，
等价为对任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x）≤f（3x+3t）恒成立，
即x≥3x+3t，即x≤-

3

2

t恒成立，
∵x∈[t，t+2]，
∴t+2≤-

3

2

t恒成立，
即

5

2

t≤-2，解t≤-

4

5

，
则实数t的最大值为-

4

5

．
故答案为：-

4

5

．

点评：本题考查了函数恒成立问题及函数的奇偶性，考查学生灵活运用所学知识分析问题解决问题的能力．