Question

【题目】已知函数.

（1）试讨论函数的单调性；

（2）若不等式在区间上恒成立,求的取值范围,并证明：

.

Answer 1

【答案】（1）时，在上递减，时，时递减，时递增；（2）证明见解析．

【解析】试题分析：（1）判断单调性，定义域为，只要求得导数，判断的正负即可，此题需要按 和分类讨论；（2）证明此不等式的关键是求的最大值，由导数的知识可得最大值为，即，当时，．这样要证不等式的左边每一项都有，相加即得结论．

试题解析：（1）由题可知，

定义域为，

所以，

若，恒成立，在单调递减.

若，

，

当时，，单调递减，

当时，，单调递增.

（2）不等式在区间上恒成立

可转化为：，令，

则问题可化为（其中），

由于，令得，

当时，，单调递增，

当时，，单调递减.

所以，因此， 即.

由，可知，

从而得到，对依次取值可得

，，，…，，

对上述不等式两边依次相加得到：