Question

2．已知函数f（x）=（2a+1）x-aln（x-1）-b．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若g（x）=f（x+1），当a=1时，g（x）在区间（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一个零点，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调区间即可；
（2）问题转化为h（x）=3（x+1）-lnx和y=b在区间（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一个交点，根据函数的单调性判断计算即可．

解答 解：（1）f（x）的定义域是（1，∞），
f′（x）=$\frac{（2a+1）x-（3a+1）}{x-1}$，（x＞1），
①a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{3a+1}{2a+1}$，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜$\frac{3a+1}{2a+1}$，
∴f（x）在（1，$\frac{3a+1}{2a+1}$）递减，在（$\frac{3a+1}{2a+1}$，+∞）递增，
②-$\frac{1}{2}$≤a≤0时，$\frac{3a+1}{2a+1}$≤1，
∴f（x）在（1，+∞）递增，
③a＜-$\frac{1}{2}$时，令f′（x）＞0，解得：1＜x＜$\frac{3a+1}{2a+1}$，
令f′（x）＜0，解得：x＞$\frac{3a+1}{2a+1}$，
∴f（x）在（1，$\frac{3a+1}{2a+1}$）递增，在（$\frac{3a+1}{2a+1}$，+∞）递减；
（2）a=1时，g（x）=f（x+1）=3（x+1）-lnx-b，（x＞0），
g（x）在区间（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一个零点，
即h（x）=3（x+1）-lnx和y=b在区间（$\frac{1}{{e}^{2}}$，e）上恰有一个交点，
h′（x）=$\frac{3x-1}{x}$，
令h′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{3}$，令h′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{3}$，
∴h（x）在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{3}$）递减，在（$\frac{1}{3}$，e）递增，
而h（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=5+$\frac{3}{{e}^{2}}$＞h（e）=2+3e，
∴2+3e＜b＜5+$\frac{3}{{e}^{2}}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道中档题．