Question

7．已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，若倾斜角为$\frac{π}{3}$的直线l经过点P（4，2）．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并将曲线C的极坐标方程化为直角坐标系方程；
（Ⅱ）若直线l与曲线C交于不同的两点A、B，求|PA|+|PB|的值．

Answer 1

分析 （I）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，化简即可得出（t为参数）．曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ代入可得直角坐标方程．
（II）把直线l的参数方程代入曲线C的方程可得：t²+$（2+2\sqrt{3}）$t+4=0．由于A，B两点在点P的同侧，可得|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（I）直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=4+tcos\frac{π}{3}}\\{y=2+tsin\frac{π}{3}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．
曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ，即ρ²=4ρcosθ，可得直角坐标方程：x²+y²=4x，配方为：（x-2）²+y²=4．
（II）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=4+\frac{1}{2}t}\\{y=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入曲线C的方程可得：t²+$（2+2\sqrt{3}）$t+4=0．
∴t₁+t₂=-$（2+2\sqrt{3}）$．
∵A，B两点在点P的同侧，∴|PA|+|PB|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=$2+2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程及其应用、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．