Question

在△ABC中，BC=2，而且sinC-sinB=

1

2

sinA，求A的轨迹．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，由已知得A点的轨迹为以BC焦点的双曲线的一支且除去顶点，由此能求出A的轨迹方程．

解答： 解：以BC所在的直线为x轴，以线段BC的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，
则B（-1，0），C（1，0），
△ABC中，

AB

sinC

=

BC

sinA

=

AC

sinB

，
∵sinC-sinB=

1

2

sinA，
∴|AB|-|AC|=

1

2

|BC|=1＜|BC|=2，
∴A点的轨迹为以BC焦点的双曲线的一支且除去顶点
∴设其方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
由已知得2a=1，c=1，解得a=

1

2

，b²=

3

4

，
∴A的轨迹方程为

x2

1 4

-

y2

3 4

=1（x＞

1

2

）．

点评：本题考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意双曲线性质的合理运用．