题目内容

已知椭圆 $数学公式$ 的离心率为 $数学公式$ ，其左、右焦点分别为F₁，F₂，点P（x₀，y₀）是坐标平面内一点，且 $数学公式$ （O为坐标原点）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点 $数学公式$ 且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标，若不存在，说明理由．

解：（1）设P（x₀，y₀），F₁（-c，0），F₂（c，0），
则由 $\text{[math]}$ ；
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
所以c=1
又因为 $\text{[math]}$ ．
因此所求椭圆的方程为： $\text{[math]}$ ．
（2）动直线l的方程为： $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ 得 $\text{[math]}$ ．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
则 $\text{[math]}$ ．
假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则 $\text{[math]}$ ．
$\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
由假设得对于任意的 $\text{[math]}$ 恒成立，
即 $\text{[math]}$ 解得m=1．
因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，
点M的坐标为（0，1）
分析：（1）设出P的坐标，利用|OP|的值求得x₀和y₀的关系式，同时利用 $\text{[math]}$ 求得x₀和y₀的另一关系式，进而求得c，通过椭圆的离心率求得a，最后利用a，b和c的关系求得b，则椭圆的方程可得．
（2）设出直线l的方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则可利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，假设在y轴上存在定点M（0，m），满足题设，则可表示出 $\text{[math]}$ ，利用 $\text{[math]}$ =0求得m的值．
点评：本题主要考查了椭圆的简单性质．考查了学生分析问题和推理的能力．