Question

已知直线x+y=a与圆x²+y²=4交于A，B两点，且OA⊥OB（其中O为坐标原点），则实数a等于

 

．

Answer 1

考点：直线与圆相交的性质

专题：计算题,直线与圆

分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．

解答： 解：∵OA⊥OB，OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
又圆心坐标为（0，0），半径R=2，
∴AB=

2

R=2

2

，
∴圆心到直线y=x+a的距离d=

1

2

AB=

|a|

2

=

2

，
∴|a|=2，
∴a=±2．
故答案为：±2．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：等腰直角三角形的判定与性质，以及点到直线的距离公式，其中根据题意得出△AOB为等腰直角三角形是解本题的关键．