题目内容

设F1、F2为双曲线-=1（0＜θ≤，b＞0）的两个焦点，过F1的直线交双曲线的同支于A、B两点，如果|AB|=m，则△AF2B的周长的最大值是（ ）
A．4-m
B．4
C．4+m
D．4+2m
【答案】分析：根据双曲线的性质可知|AF2|-|AF1|=2sinθ，|BF2|-|BF1|=2sinθ，根据|BF1|+|AF1|=m，代入AF2B的周长，最后根据sinθ的范围求得周长的最大值．
解答：解：根据双曲线的性质可知|AF2|-|AF1|=2sinθ，|BF2|-|BF1|=2sinθ
∴|AF2|=2sinθ+|AF1|，|BF2|=2sinθ+|BF1|
∵|BF1|+|AF1|=m，
∴△AF2B的周长=|AF2|+|BF2|+2m=4sinθ+2m
∴最大值是2m+4
故选D．
点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．充分利用了双曲线的定义．
练习册系列答案
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设F1和F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（　　）
A、
3
2
B、2
C、
5
2
D、3
设F1、F2为双曲线
x2
sin2θ
-
y2
b2
=1（0＜θ≤
π
2
，b＞0）的两个焦点，过F1的直线交双曲线的同支于A、B两点，如果|AB|=m，则△AF2B的周长的最大值是（　　）
A、4-mB、4
C、4+mD、4+2m
设F1和F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1、F2、P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
2
2
．
以正方形ABCD的相对顶点A、C为焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中点，则该椭圆的离心率为
10
-
2
2
10
-
2
2
；设F1和F2为双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，若F1，F2，P（0，2b）是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为
2
2
；经过抛物线y=
1
4
x2的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若y1+y2=5，则线段AB的长等于
7
7
．
设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若
PF12PF2
的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是
（1，3]
（1，3]
．

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