Question

设F₁、F₂为双曲线

x2

sin2θ

-

y2

b2

=1（0＜θ≤

π

2

，b＞0）的两个焦点，过F₁的直线交双曲线的同支于A、B两点，如果|AB|=m，则△AF₂B的周长的最大值是（　　）

• A、4-m
• B、4
• C、4+m
• D、4+2m

Answer 1

分析：根据双曲线的性质可知|AF₂|-|AF₁|=2sinθ，|BF₂|-|BF₁|=2sinθ，根据|BF₁|+|AF₁|=m，代入AF₂B的周长，最后根据sinθ的范围求得周长的最大值．

解答：解：根据双曲线的性质可知|AF₂|-|AF₁|=2sinθ，|BF₂|-|BF₁|=2sinθ
∴|AF₂|=2sinθ+|AF₁|，|BF₂|=2sinθ+|BF₁|
∵|BF₁|+|AF₁|=m，
∴△AF2B的周长=|AF₂|+|BF₂|+2m=4sinθ+2m
∴最大值是2m+4
故选D．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．充分利用了双曲线的定义．