题目内容
设F1、F2为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若
的最小值恰是实轴长的4倍，则该双曲线离心率的取值范围是
| PF12 | PF2 |
（1，3]
（1，3]
．分析：设|PF2|=t，则由双曲线的定义可得|PF1|=2a+t，推出
的关系式，利用基本不等式求出最小值，然后推出离心率的范围．
P
| ||
| PF2 |
解答：解：由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a．
设|PF2|=t，则|PF1|=2a+t，
所以
=
=
+t+4a≥2
+4a=8a，
当且仅当 t=2a时，等号成立．
因为P为双曲线右支上任一点，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=
≤3．
又因为 e＞1，
所以e的范围为 （1，3]．
故答案为：（1，3]．
设|PF2|=t，则|PF1|=2a+t，
所以
P
| ||
| PF2 |
| 4a2+4at+t2 |
| t |
| 4a2 |
| t |
|
当且仅当 t=2a时，等号成立．
因为P为双曲线右支上任一点，
所以t≥c-a，
所以2a≥c-a，
所以e=
| c |
| a |
又因为 e＞1，
所以e的范围为 （1，3]．
故答案为：（1，3]．
点评：本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，并且考查基本不等式的应用，此题能够正确利用 t≥c-a 是解题的关键．
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