题目内容
16．已知正三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点在球O1上，又知球O2与此正三棱柱的5个面都相切，求球O1与球O2的表面积之比（ ）| A． | 5：1 | B． | 2：1 | C． | 4：1 | D． | $\sqrt{3}$：1 |
分析 由题意得两球心是重合的，设球O1的半径为R，球O2的半径为r，则正三棱柱的高为2r，AB=2$\sqrt{3}$r，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，则（2r）2+r2=R2，即5r2=R2
解答 解：设球O2的为r，球O1的半径为R
∵三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，三棱柱的六个顶点都在球O1的球面上，
∴三棱柱的高（侧棱长）为2r．
正三棱柱ABC-A1B1C1的底面与球O1的大圆截面如图（1）所示：可得AB=2$\sqrt{3}$r，BO1=2r
正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球O1的球心，
∴（2r）2+r2=R2，∴5r2=R2，∴球O1与球O2的表面积之比为5：1．
故选：A
点评 本题考查了球与三棱柱的组合体，根据几何体的性质，找到球心，求出半径是解题关键，属于中档题．
练习册系列答案
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1．已知A（1，3），B（4，-1），则与向量$\overrightarrow{AB}$共线的单位向量为（ ）
| A． | $（{\frac{4}{5}，\frac{3}{5}}）$或$（{-\frac{4}{5}，\frac{3}{5}}）$ | B． | $（{\frac{3}{5}，-\frac{4}{5}}）$或$（{-\frac{3}{5}，\frac{4}{5}}）$ | C． | $（{-\frac{4}{5}，-\frac{3}{5}}）$或$（{\frac{4}{5}，\frac{3}{5}}）$ | D． | $（{-\frac{3}{5}，-\frac{4}{5}}）$或$（{\frac{3}{5}，\frac{4}{5}}）$ |