Question

20．等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比数列，若a₅=5，S_n为数列{a_n}的前n项和，则数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和取最小值时的n为（　　）

• A． 3
• B． 3或4
• C． 4或5
• D． 5

Answer 1

分析 利用等差数列的通项公式、等比数列的性质，列出方程组求出首项和公差，由此得到$\frac{{S}_{n}}{n}$=n-4，由此能求出数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和取最小值时的n．

解答 解：∵等差数列{a_n}的公差d≠0，且a₃，a₅，a₁₅成等比数列，
a₅=5，S_n为数列{a_n}的前n项和，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（{a}_{1}+2d）（{a}_{1}+14d）=25}\\{{a}_{1}+4d=5}\end{array}\right.$，
由d≠0，解得a₁=-3，d=2，
∴$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{n{a}_{1}+\frac{n（n-1）}{2}d}{n}$=-3+n-1=n-4，
由n-4≥0，得n≥4，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}的前n项和取最小值时的n为3或4．
故选：B．

点评 本题考查等差数列的前n项和与项数n的比值的前n项和取最小值时的项数n的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列、等比数列的性质的合理运用．