Question

16．已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$的一条渐近线为$y=\frac{1}{2}x$，则双曲线方程为（　　）

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{16}=1$
• B． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{4}=1$
• C． $\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{16}=1$

Answer 1

分析 根据题意，由双曲线的方程可得其渐近线方程为y=±$\frac{2}{a}$x，结合题意可得$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$，解可得a的值，将a的值代入双曲线方程即可得答案．

解答 解：根据题意，双曲线的方程为$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{4}=1$，
其焦点在x轴上，则其渐近线方程为y=±$\frac{2}{a}$x，
又由已知双曲线的一条渐近线为$y=\frac{1}{2}x$，则有$\frac{2}{a}$=$\frac{1}{2}$，
解可得a=4，
则双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
故选：B．

点评 本题考查双曲线的标准方程，涉及双曲线的渐近线方程，注意要先分析双曲线焦点的位置．