Question

6．点M为正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的内切球O球面上的动点，点N为B₁C₁上一点，NC₁=2NB₁，DM⊥BN，若球O的体积为9$\sqrt{2}$π，则动点M的轨迹的长度为$\frac{3\sqrt{30}}{5}π$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，在BB₁上取点P，使2BP=PB₁，连接CP、DP，由线面垂直的判定和性质可得M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周，求出圆的半径得答案．

解答 解：如图，
在BB₁上取点P，使2BP=PB₁，连接CP、DP，BN，
∵NC₁=2NB₁，∴CP⊥BN，
又DC⊥平面BCC₁B₁，∴DC⊥BN，则BN⊥平面DCP，
则M点的轨迹为平面DCP与球O的截面圆周．
设正方体的棱长为a，则$\frac{4}{3}π×（\frac{a}{2}）^{3}=9\sqrt{2}π$，解得a=$3\sqrt{2}$．
连接OD、OP、OC，
由V_O-DPC=V_C-DPO，求得O到平面DPC的距离为$\frac{3\sqrt{5}}{5}$．
∴截面圆的半径r=$\sqrt{（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{5}}{5}）^{2}}=\frac{3\sqrt{30}}{10}$．
则点M的轨迹长度为$2π×\frac{3\sqrt{30}}{10}=\frac{3\sqrt{30}}{5}π$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{30}}{5}π$．

点评 本题考查轨迹方程，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体体积，正确找出M点的轨迹是关键，难度较大．