Question

【题目】已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设是过原点的直线，是与n垂直相交于点，与椭圆相交于两点的直线，，是否存在上述直线使成立？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1)；(2)答案见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由构成等差数列可得， ，．又，，从而可得结果；（Ⅱ）先证明当与轴垂直时，不合题意，当与x轴不垂直时，设的方程为，由与垂直相交于 点且，得，利用韦达定理以及平面向量数量积公式，可得，矛盾，故此时的直线也不存在．

.试题解析：（Ⅰ）依题意，设椭圆的方程为．

构成等差数列，

，．

又，．

椭圆的方程为.

（Ⅱ）设两点的坐标分别为,，

假设存在直线使成立，

(ⅰ)当与轴垂直时，满足的直线的方程为或

当时，的坐标分别为，,．

∴

当时，同理可得，

即此时的直线不存在．

(ⅱ)当与轴不垂直时，设的方程为，

由与垂直相交于点且，得.

因为，，

,.

将代入椭圆方程，得

由根与系数的关系得：　，

即，矛盾，故此时的直线也不存在．

综上可知，使成立的直线不存在．