Question

【题目】设椭圆的离心率为，且过点.

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点， 且（为坐标原点）？若存在，写出该圆的方程；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.

【解析】试题分析：(1)由题目已知离心率为，且过点即可求出椭圆方程(2)先假设存在，设两个交点坐标和直线方程， ，根据直线与圆相切及，得出方程组，从而求解出结果，再讨论斜率不存在时的情况

解析：（1）由已知得，又，得，解得

（2）假设满足题意的圆存在，其方程为，其中.

设该圆的任意一条切线和椭圆交于两点

当直线的斜率存在时，令直线的方程为

因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，

所以圆的半径为①

联立方程得

要使，需使，即，

所以，②

， ，所求的圆为，

而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为

或满足，

综上，存在圆心在原点的圆，

使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且.