Question

【题目】已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，记函数的极小值为，若恒成立，求满足条件的最小整数.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)0.

【解析】试题分析：（1）求函数的定义域和导数，讨论的取值范围，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可．
（2）根据（1）求出求出函数的极小值为若

恒成立，转化为恒成立，构造函数设 根据导数和函数的函数，求出 即可求出满足条件的最小整数

试题解析：

（1）的定义域为，

①若，当时， ，

故在单调递减，

②若，由，得，

（ⅰ）若，当时， ，

当时， ，

故在单调递减，在， 单调递增

（ⅱ）若， ， 在单调递增，

（ⅲ）若，当时， ，

当时， ，

故在单调递减，在， 单调递增

（2）由（1）得：若， 在单调递减，

在， 单调递增

所以时， 的极小值为

由恒成立，

即恒成立

设，

令，

当时，

所以在单调递减，

且，

所以， ，

且， ， ，

所以，

因为

得其中，

因为在上单调递增

所以

因为， ，所以