Question

【题目】已知中心在原点的双曲线 的右焦点为 ，右顶点为 ，（ 为原点）

（1）求双曲线 的方程；

（2）若直线 ： 与双曲线恒有两个不同的交点 和 ，且，求 的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 双曲线 的方程为;(2) 的取值范围为.

【解析】试题分析：（1）由题意设出双曲线的方程，再由已知a和c的值求出b2的值，则双曲线C的方程可求；
（2）直接联立直线方程和双曲线方程，化为关于的方程后由二次项系数不等于0且判别式大于0求解的取值范围，然后结合得答案．

试题解析：（1）设双曲线方程为 （ ， ）

由已知得 ， ，再由 ，得 ，所以双曲线 的方程为 .

（2）将 代入 得

.由直线 与双曲线交于不同的两点得即 且 .①

设 、 ，则 ， ，

由 得 ，而

于是 ，即 .解此不等式得 ，②由①②得

故 的取值范围为.