Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAB是正三角形，AB=2，BC=

2

，PC=

6

．E、H分别为PA、AB的中点．
（I）求证：PH⊥AC；
（Ⅱ）求三棱锥P-EHD的体积．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的性质,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）根据勾股定理得BC⊥PB，由ABCD为矩形，得BC⊥AB，从而BC⊥面PAB，进而面PAB⊥面ABCD，由此能证明PH⊥平面ABCD，从而PH⊥AC．
（Ⅱ）由V_P-EHD=V_D-PEH，利用等积法能求出三棱锥P-EHD的体积．

解答： （Ⅰ）证明：∵PAB为正三角形，AB=2，
∴PB=AB=2，
∵BC=

2

，PC=

6

，
∴PC²=BC²+PB²
∴根据勾股定理得BC⊥PB
∵ABCD为矩形
∴BC⊥AB
∵PB，AB∈面PAB且交于点B
∴BC⊥面PAB
∵BC∈面ABCD
∴面PAB⊥面ABCD
∵H分别AB的中点，PAB为正三角形，
∴PH⊥AB，∴PH⊥平面ABCD，
∵AC?平面ABCD，∴PH⊥AC．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知DA⊥平面PEH，DA=BC=

2

，
S_△PEH=

1

4

S△PAB=

1

4

×

1

2

×

4-1

×

2

=

6

8

，
∴三棱锥P-EHD的体积V_P-EHD=V_D-PEH
=

1

3

×DA×S△PEH=

1

3

×2×

6

8

=

6

12

．

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．