Question

5．在平面直角坐标系xOy中，已知点A为双曲线x²-y²=4的左顶点，点B和点C在双曲线的右支上，△ABC为等边三角形，则△ABC的面积为12$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先求出双曲线x²-y²=4的左顶点为A（-4，0），根据双曲线的对称性，设出B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）的坐标，根据，△ABC是等边三角形得（x₁+2）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，求出x₁和y₁的值，由此得BC=4$\sqrt{3}$，从而可以算出面积．

解答 解：双曲线x²-y²=4的左顶点为A（-2，0），根据双曲线的对称性，
可设B（x₁，y₁），C（x₁，-y₁）．
由△ABC是等边三角形⇒AB=BC，得：
（x₁+2）²+y₁²=（-y₁-y₁）²，
又x₁²-y₁²=4，
∴x₁²-2x₁-8=0，∴x₁=-2或x₁=4
右支的范围是x≥0，
所以x₁=4，从而y₁=±2$\sqrt{3}$，
由此BC=4$\sqrt{3}$
可以算出面积：S=$\frac{\sqrt{3}}{4}×（4\sqrt{3}）^{2}$=12$\sqrt{3}$．
故答案为：12$\sqrt{3}$．

点评 本小题主要考查双曲线的标准方程、双曲线的简单性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．