题目内容
如图，三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都是2，又AA1⊥平面ABC，D，E分别是AC，CC1的中点．（1）求证：AE⊥平面A1BD；
（2）求点B1到平面A1BD的距离．
考点：直线与平面垂直的判定,点、线、面间的距离计算
专题：证明题,空间位置关系与距离
分析：（1）以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，确定向量坐标，利用数量积为0，即可证得结论；
（2）
=（0，2，0），平面A1BD的法向量取
=（2，1，0），利用距离公式可求点B1到平面A1BD的距离．
（2）
| B1B |
| n1 |
解答：
（1）证明：以DA所在直线为x轴，过D作AC的垂线为y轴，DB所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
则A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，-1，0），A1（1，-2，0），C1（-1，-2，0），B（0，0，
），
∴
=（-2，-1，0），
=（-1，2，0），
=（0，0，-
），
∴
•
=0，
•
=0，
∴
⊥
，
⊥
，
又A1D与BD相交，
∴AE⊥面A1BD．
（2）
=（0，2，0），
设面DA1B的法向量为
=（x1，y1，z1），则
，不妨取
=（2，1，0），
则B1到平面A1BD的距离为d=|
|=
．
则A（1，0，0），C（-1，0，0），E（-1，-1，0），A1（1，-2，0），C1（-1，-2，0），B（0，0，
| 3 |
∴
| AE |
| A1D |
| BD |
| 3 |
∴
| AE |
| A1D |
| AE |
| BD |
∴
| AE |
| A1D |
| AE |
| BD |
又A1D与BD相交，
∴AE⊥面A1BD．
（2）
| B1B |
设面DA1B的法向量为
| n1 |
|
| n1 |
则B1到平面A1BD的距离为d=|
| ||||
|
|
2
| ||
| 5 |
点评：本题考查向量知识的运用，考查线面垂直，考查面面角，考查点到面的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．
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