Question

7．已知函数f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，若存在x∈[1，2]使得f′（x）•x+f（x）＞0，则实数m的取值范围是（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （2，$\frac{5}{2}$）
• C． （0，$\frac{5}{2}$）
• D． （-∞，$\frac{5}{2}$）

Answer 1

分析 对f（x）求导，确定出不等式的等价结论为二次函数大于0，从而确定出m的范围．

解答 解：∵f（x）=$\frac{2lnx+（x-m）^{2}}{x}$，
∴f（x）定义域为（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}-2lnx+2-{m}^{2}}{{x}^{2}}$，
∴f′（x）•x+f（x）=$\frac{2{x}^{2}-2mx+2}{x}$＞0对存在x∈[1，2]成立，
∴存在x∈[1，2]使得：x²-mx+1＞0，
令g（x）=x²-mx+1，
∴g（1）＞0或g（2）＞0即可，
m＜2或m＜$\frac{5}{2}$．，
∴m＜$\frac{5}{2}$，
故选D．

点评 本题考查函数求导，以及不等式的等价变换问题．