Question

2．已知f（x）是R上的一个偶函数，g（x）是R上的一个奇函数，且满足f（x）=g（x）+3^x．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数；
（3）设h（x）=$\sqrt{f（x）-a}$，若函数h（x）在x∈[1，+∞）时都有意义，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据奇偶性，可以得到②式，再由两式结合，得到f（x）的解析式．
（2）对f（x）求导，由导函数在区间（0，+∞）恒正，得到原函数在区间（0，+∞）上是增函数．
（3）由（2）得f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增的，可得f（x）在区间[1，+∞）的最小值，由最小值有意义即可．

解答 解：（1）∵f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，f（x）=g（x）+3^x，①
∴f（-x）=g（-x）+3^-x，即f（x）=-g（x）+3^-x，②
∴由①，②得：
∴f（x）=$\frac{{3}^{x}+{3}^{-x}}{2}$．
（2）对f（x）求导，得f′（x）=$\frac{{3}^{x}-{3}^{-x}}{2}$=$\frac{{3}^{2x}-1}{2•{3}^{x}}$，
当x＞0时，f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（3）∵h（x）=$\sqrt{f（x）-a}$，
而f（x）在区间[1，+∞）上是单调递增的，
∴f（x）在区间[1，+∞）上是满足f（x）≥f（1）=$\frac{5}{3}$，
∴h（x）在x∈[1，+∞）时都有意义等价于$\frac{5}{3}$+a≥0，
即a≥-$\frac{5}{3}$．

点评 本题考查函数的奇偶性，以及函数通过求导来确定单调性，求解未知数的取值范围．