Question

已知函数f（x）=lnx+cosx-（

6

π

-

9

2

）x的导数为f′（x），且数列{a_n}满足a_n+1+a_n=nf′（

π

6

）+3（n∈N^*）．
（1）若数列{a_n}是等差数列，求a₁的值；（2）当a₁=2时，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）若对任意n∈N^*，都有

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4成立，求a₁的取值范围．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差关系的确定,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：求出函数的导数，推出a_n+1+a_n=nf′（

π

6

）+3的具体表达式，
（1）数列{a_n}是等差数列，利用a_n+1+a_n=4n+3，求出a₁的值；
（2）利用a_n+1+a_n=4n+3，当a₁=2时，推出奇数项与偶数项导数等差数列，然后求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）通过对任意n∈N^*，都有

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4成立，利用n为奇数与n为偶数，通过不等关系式，分别利用函数的最值问题，求a₁的取值范围．

解答： 解：函数f（x）=lnx+cosx-（

6

π

-

9

2

）x，
∴f′(x)=

1

x

-sinx-

6

π

+

9

2

，则f′(

π

6

)=4，故a_n+1+a_n=4n+3
（1）若数列{a_n}是等差数列，由a_n+1+a_n=4n+3得（a₁+nd）+[a₁+（n-1）d]=4n+3，
解得：d=2，a1=

5

2

（2）由an+1+an=4n+3(n∈N*)．得a_n+2+a_n+1=4n+7两式相减，得a_n+2-a_n=4
故数列{a_2n-1}是首项为a₁，公差为4的等差数列．数列{a_2n}是首项为a₂，公差为4
的等差数列，
由a₂+a₁=7，a₁=2，得a₂=5，所以an=

2n，n为奇数 2n+1，n为偶数.

①当n为奇数是，a_n=2n，a_n+1=2n+3.Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a_n-2=7+15+…+(4n-5)+2n=

n-1 2 ×(4n-5+7)

2

+2n=

2n2+3n-1

2

；
②当n为偶数时，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an)=7+15+…+(4n-1)=

2n2+3n

2

；
（3）由（2）知，an=

2n-2+a1，n为奇数 2n+3-a1，n为偶数

，
①当n为奇数时，a_n=2n-2+a₁，a_n+1=2n+5-a₁．
由

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4得2

a

2 1

-14a1≥-8n2+4n-17．
令f(n)=-8n2+4n-17=-8(n-

1

4

)2-

33

2

，∴f（n）_max=f（1）=-21，∴2

a

2 1

-14a1≥-21．解得a≥

7+ 7

2

或a≤

7- 7

2

．
②当n为偶数时，a_n=2n+3-a₁，a_n+1=2n+a₁．
由

a 2 n +an+12

an+an+1

≥4得2

a

2 1

-6a1≥-8n2+4n+3．
令g(n)=-8n2+4n+3=-8(n-

1

4

)2+

7

2

，∴g（n）_max=g（2）=-21，∴2

a

2 1

-6a1≥-21解得a₁∈R
综上，a₁的取值范围是(-∞，

7- 7

2

]∪[

7+ 7

2

，+∞)．

点评：本题考查数列的综合应用，数列与不等式的求法，考查计算能力，转化思想的应用．