Question

如图，已知四边形ABCD是空间四边形，E是AB的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且

CF

CB

=

CG

CD

=

1

3

．设平面EFG∩AD=H，
（1）若AD=λAH． 求λ的值；
（2）试判断四边形EFGH的形状；并给出证明．

Answer 1

考点：直线与平面平行的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知条件推导出FG∥BD，且FG=

1

3

BD，再利用直线与平面平行的性质定理和平行公理能求出λ．
（2）四边形EFGH为梯形，利用平行公理和梯形定义进行说明．

解答： 解：（1）∵

CF

CB

=

CG

CD

=

1

3

，
∴FG∥BD，且FG=

1

3

BD，
∵FG不包含于平面ABD，BD?平面ABD，
∴由直线与平面平行的性质定理，知：FG∥EH，
由平行公理知：EH∥BD，
∵E是AB的中点，∴H是AD的中点，
∴AD=2AH，∴λ=2．
（2）四边形EFGH为梯形，理由如下：
由（1）知FG∥BD，EH∥BD，
∴EH∥FG，
又∵FG=

1

3

BD，EH=

1

2

BD，
∴EH=

3

2

FG，
∴四边形EFGH为梯形．

点评：本题考查参数值的求法，考查四边形形状的判断，解题时要认真审题，注意平行公理的合理运用．