Question

已知函数f（x）定义域为R，对于任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（x+y）．且x＞0时，f（x）＞0，则（　　）

• A、f（x）是偶函数且在R上单调递减
• B、f（x）是偶函数且在R上单调递增
• C、f（x）是奇函数且在R上单调递增
• D、f（x）是奇函数且在R上单调递减

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由条件可令x=y=0，得到f（0）=0，令x+y=0，即有f（-x）=-f（x），则f（x）为奇函数，由于x＞0时，f（x）＞0，令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞0，再运用条件即可得到单调性．

解答： 解：由于任意x、y，都有f（x）+f（y）=f（x+y），
则令x=y=0，即2f（0）=f（0），即f（0）=0，
令x+y=0，则f（0）=f（x）+f（-x）=0，即有f（-x）=-f（x），
则f（x）为奇函数，
由于x＞0时，f（x）＞0，
令x₁＜x₂，即有x₂-x₁＞0，则f（x₂-x₁）＞0，
即有f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＞0，
则f（x）在R上单调递增．
故选C．

点评：本题考查抽象函数及应用，考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义，考查运算能力，属于中档题．