Question

如图，长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，G是CC₁上的动点．
（l）求证：平面ADG⊥CDD₁C₁；
（2）判断B₁C₁与平面ADG的位置关系，并给出证明；
（3）若G是CC₁的中点，求二面角G-AD-C的大小．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由已知条件推导出AD⊥平面CDD₁C₁，由此能够证明平面ADG⊥平面CDD₁C₁．
（2）当G与C₁重合时，B₁C₁在平面ADG内；当点G与C₁不重合时，B₁C₁∥平面ADG．利用空间几何的位置关系能够进行证明．
（3）由已知条件能够推导出∠GDC为二面角G-AD-C的平面角，由此能够求出二面角G-AD-C的大小．

解答： （1）证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，且AB=AD，
∴AD⊥平面CDD₁C₁，
∵AD?平面ADG，
∴平面ADG⊥平面CDD₁C₁．
（2）解：当G与C₁重合时，B₁C₁在平面ADG内，
当点G与C₁不重合时，B₁C₁∥平面ADG．
证明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是长方体，∴B₁C₁∥AD，
若点G与C₁重合，平面ADG就是B₁C₁与AD确定的平面，
∴B₁C₁?平面ADG．
若G与C₁不重合，
∵B₁C₁不包含于平面ADG，AD?平面ADG，且B₁C₁∥AD，
∴B₁C₁∥平面ADG．
（3）解：∵AD⊥DG，AD⊥DC，
∴∠GDC为二面角G-AD-C的平面角，
在Rt△GDC中，
∵GC=1，DC=1，
∴∠GDC=45°．
∴二面角G-AD-C的大小为45°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面的位置关系的判断与证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．