Question

已知圆的圆心为, 且，设为圆上任一点,线段的垂直平分线交直线于点.

（1）试讨论动点的轨迹类型；

（2）当时，设动点的轨迹为曲线,过上任一点作直线，与曲线有且只有一个交点，与圆交于点，若的面积是，求直线的方程.

Answer 1

解：（1）由题

当时，点在圆内，点在线段内

∴

∴动点的轨迹是以为焦点，为长轴的椭圆

当时，点在圆外，点在线段的延长线上

∴

∴动点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线

（2）由（1）知时，动点的轨迹是以为焦点，为长轴长的椭圆

∴

∴曲线的方程是

当直线的斜率存在时，设直线的方程为

由消并整理成（*）

∵与曲线有且只有一个交点

∴（*）方程有且只有一个实数解

∴即有

∵圆心到直线的距离为，

∴弦长

点到直线的距离为

∴的面积为即

∴＝得 

∴

∴

当时，代入得

当时，代入得

当直线的斜率不存在时，直线方程为或经检验不满足条件

综上所求直线方程为或