Question

函数f（x）的图象是[-2，2]上连续不断的曲线，且满足2014^f（-x）=

1

2014f(x)

，且在[0，2]上是增函数，若f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件可知f（x）为奇函数，并且根据奇函数在对称区间上的单调性一致可知f（x）在[-2，2]上是增函数．所以由原不等式得

-2≤log2m≤2 -2≤log4(m+2)≤2 log2m＜log4(m+2)

，解该不等式组即得m的取值范围．

解答： 解：∵2014^f（-x）=

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2014f(x)

，即2014^f（-x）=2014^-f（x），可得f（-x）=-f（x）；
又因为函数的定义域[-2，2]关于原点对称，所以函数f（x）为奇函数；
由奇函数的性质可知，函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的；
而已知函数f（x）在[0，2]上是单调递增的，所以函数f（x）在[-2，0]上也是单调递增的；
故由f（log₂m）＜f[log₄（m+2）]，可得

-2≤log2m≤2 -2≤log4(m+2)≤2 log2m＜log4(m+2).

；
由-2≤log₂m≤2，解得

1

4

≤m≤4；
由-2≤log₄（m+2）≤2，解得

1

16

≤m+2≤16，即-

31

16

≤m≤14；
由log₂m＜log₄（m+2），得log₄m²＜log₄（m+2），解得0＜m＜2；得

1

4

≤m＜20＜m＜2；
综上所述，m的取值范围为[

1

4

，2）．

点评：考查奇函数的定义，及判断函数奇偶性的过程，以及奇函数在对称区间上单调性的特点，对数函数的单调性，换底公式．