Question

已知函数f（x）=e^x-ax（a∈R）．
（1）求f（x）的极值；
（2）若f（x）≥x+b恒成立，求（a+1）b的最大值．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用,函数恒成立问题,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求出函数的导数f'（x）=e^x-a，通过当a≤0时，当a＞0时，判断函数的单调性，求解函数f（x）取得极小值．
（2）通过f（x）≥x+b恒成立，转化为 e^x-（a+1）x≥b．通过（i）若a+1＜0，（ii）若 a+1=0，分别求解判断是否恒成立．（iii）若a+1＞0，设g（x）=e^x-（a+1）x，通过导数 g'（x）=e^x-（a+1），求出函数的最值，从而得到结果．

解答： 解：（1）由题意可得f'（x）=e^x-a，显然，当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，所以函数f（x）在R上单调递增，函数f（x）不存在极值．
当a＞0时，由f'（x）＞0，得 x＞lna，
当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，当x∈（-∞，lna）时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减，所以 x=lna时，函数f（x）取得极小值，f（lna）=a-alna.4分
（2）f（x）≥x+b恒成立，即e^x-ax≥x+b，得 e^x-（a+1）x≥b．
（i）若a+1＜0，对任意实数b，x＜0时，因为e^x＜1，
所以 e^x-（a+1）x＜1-（a+1）x，令 1-（a+1）x＜b，得 x＜

1-b

a+1

，
因此，a+1＜0，f（x）≥x+b不恒成立．
（ii）若 a+1=0，则（a+1）b=0．
（iii）若a+1＞0，设g（x）=e^x-（a+1）x，则 g'（x）=e^x-（a+1），
当x∈（-∞，ln（a+1））时，g'（x）＜0，当x∈（ln（a+1），+∞）时，g'（x）＞0，从而g（x）在（-∞，ln（a+1））上单调递减，在（ln（a+1），+∞）上单调递增，
故g（x）有最小值，
g（ln（a+1））=a+1-（a+1）ln（a+1），所以f（x）≥x+b恒成立等价于b≤a+1-（a+1）ln（a+1），因此 （a+1）b≤（a+1）²-（a+1）²ln（a+1），10分
设h（a）=（a+1）²-（a+1）²ln（a+1），则h'（a）=（a+1）（1-2ln（a+1）），
所以 h（a）在（-1，e

1

2

-1）上单调递增，在（e

1

2

-1，+∞）上单调递减，故h（a）在a=e

1

2

-1处取得最大值h（e

1

2

-1）=

e

2

，从而h（a）≤

e

2

，即（a+1）b≤

e

2

，所以（a+1）b的最大值是

e

2

.12分．

点评：本题考查函数的导数的综合应用，考查分类讨论思想的应用，函数的单调性的应用，函数的恒成立的转化，考查分析问题解决问题的能力，是难题．