Question

9．|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，且（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦值．

Answer 1

分析 根据向量的数量积运算和模的运算，以及向量垂直的条件得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{66}{7}$，再根据向量的夹角公式计算即可．

解答 解：∵|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow{b}$|=3，
∵（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）⊥（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），
∴（3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$）=0，
∴3|$\overrightarrow{a}$|²+2|$\overrightarrow{b}$|²-7（$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$）=0，
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=$\frac{66}{7}$，
设$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{66}{7}}{4×3}$=$\frac{11}{14}$．

点评 本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直条件的灵活运用，解题时要认真审题，仔细解答．是基础题