Question

18．已知二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），且与y轴交于点C，D点在抛物线上且横坐标是-2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求出PA+PD的最小值．

Answer 1

分析 （1）由二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），可得：$\left\{\begin{array}{l}f（-3）=0\\ f（1）=0\end{array}\right.$，解得抛物线的解析式；
（2）由（1）可得：C点坐标为（0，-3），C，D关于对称轴x=-1对称，连接AC，交对称轴x=-1于点P，则此时PA+PD取最小值，解得答案．

解答 解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象过点A（-3，0）和点B（1，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}f（-3）=0\\ f（1）=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}9-3b+c=0\\ 1+b+c=0\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}\\ b=2\\ c=-3\end{array}\right.$，
故函数y=x²+2x-3；
（2）由（1）可得：C点坐标为（0，-3）
C，D关于对称轴x=-1对称，
则PC=PD，

连接AC，交对称轴x=-1于点P，则此时PA+PD取最小值，
此时PA+PD=PA+PC=AC=3$\sqrt{2}$

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．